sannolikhetsdensiteten

Sannolikhetsdensiteten, eller tätheten för en kontinuerlig slumpvariabel X, är en funktion f: R → [0, ∞) som uppfyller två grundläggande krav: f(x) ≥ 0 för alla x och ∫_{-∞}^{∞} f(x) dx = 1. Sannolikheten att X ligger inom ett intervall [a, b] är P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx. Om den kumulativa förändringen F(x) = P(X ≤ x) är differentiell, är f(x) = F'(x).

Densiteten beskriver hur sannolikheten är fördelad längs värdeaxeln; sannolikheten att X har exakt ett värde x är noll i en kontinuerlig modell, medan tätheten avspeglar sannolikhetsmassan över intervallet. För multivariata variabler gäller en gemensam densitet f_X(x) med ∫ f_X(x) dx = 1 över hela R^n, och marginal- samt gemensamma density uttrycks via integraler.

Beräkning av förväntningar: E[g(X)] = ∫ g(x) f(x) dx för lämpliga funktioner. Exempel på vanliga densiteter är: uniform på [a, b] med f(x) = 1/(b−a) inom intervallet, exponentialfördelning f(x) = λ e^{−λ x} för x ≥ 0, och normalfördelning f(x) = (1/(σ√{2π})) exp(−(x−μ)^2/(2σ^2)). Enhet och normalisering: ytan under kurvan är 1.

Notera att densiteten inte är en sannolikhet i sig; punktsannolikheten är 0 i kontinuerliga fall. Jämförelse med diskreta variabler görs via sannolikhetsmassfunktion p(x) där ∑ p(x) = 1.