ryhmätoiminnot

Ryhmän toiminnot (ryhmätoiminnot) ovat tapoja, joilla joukko G vaikuttaa joukkoon X antamalla jokaiselle parille (g, x) alkion g · x X:ssä. Tärkeimmät ehdot: on olemassa toimint μ: G × X → X merkittynä g · x, joka täyttää e · x = x kaikille x ∈ X ja (gh) · x = g · (h · x) kaikille g, h ∈ G ja x ∈ X, missä e on ryhmän identiteetti. Toiminto tunnetaan usein lyhenteellä g · x.

Peruskäsitteet: Orbit ja stabilisaattori. G · x eli orbitti x: n kokoelma {g · x : g ∈ G}. Stabilisaattori G_x = {g ∈ G : g · x = x} on joukko ryhmän elementtejä, jotka jättävät x siirtämättä. Jos G on finite, orbit-stabilizer-teoreema sanoo |G · x| · |G_x| = |G|.

Ominaisuudet: Ryhmätoiminto voi olla transitiivinen, jos sillä on yksi itseisarvonsa orbitin G · x koko X:ään. Toisaalta toiminta on uskollinen tai todellinen (faithful), jos koko G ei vaikuta identtisesti mihinkään x:ään; tällöin ydin kerroksessa on triviali {e}.

Esimerkit: S_n-ryhmä toimii luonnollisesti joukolla {1, ..., n} permutaatioksi. Dihedraalinen D_n toimii n-gonin symmetrioina. G:n toiminta itsensä päällä vasemman kertolaskun kautta on vakiintunut esimerkki rekuaari-toiminnasta (regular action). Yksinkertainen toiminto määritellään siten, että kaikki g ∈ G vaikuttavat identtisesti: g · x = x kaikille x.

Suhteet: Ryhmätoiminnosta saa homomorfian φ: G → Sym(X), jossa φ(g) on x ↦ g · x. Toiminta määrittelee x:ien orbitit ja stabilisaattorit sekä kerroksen ytimen kautta voidaan luonnehtia toiminnan tarkkaa luonnetta.

Sovellukset: Ryhmän toiminnot ovat keskeisiä symmetriyksen tutkimisessa, polttomittujen tai kerrosten perusteella tehtävissä laskuissa ja erityisesti orbioiden määrittämisessä sekä Burnside’n lemman ja orbit-countingin sovelluksissa. Tämän näkökulman avulla voidaan kytkeä ryhmän rakenne ympäristön rakenteeseen ja symmetriaan.