ryhmätoiminnot
Ryhmän toiminnot (ryhmätoiminnot) ovat tapoja, joilla joukko G vaikuttaa joukkoon X antamalla jokaiselle parille (g, x) alkion g · x X:ssä. Tärkeimmät ehdot: on olemassa toimint μ: G × X → X merkittynä g · x, joka täyttää e · x = x kaikille x ∈ X ja (gh) · x = g · (h · x) kaikille g, h ∈ G ja x ∈ X, missä e on ryhmän identiteetti. Toiminto tunnetaan usein lyhenteellä g · x.
Peruskäsitteet: Orbit ja stabilisaattori. G · x eli orbitti x: n kokoelma {g · x : g ∈ G}. Stabilisaattori
Ominaisuudet: Ryhmätoiminto voi olla transitiivinen, jos sillä on yksi itseisarvonsa orbitin G · x koko X:ään. Toisaalta
Esimerkit: S_n-ryhmä toimii luonnollisesti joukolla {1, ..., n} permutaatioksi. Dihedraalinen D_n toimii n-gonin symmetrioina. G:n toiminta itsensä
Suhteet: Ryhmätoiminnosta saa homomorfian φ: G → Sym(X), jossa φ(g) on x ↦ g · x. Toiminta määrittelee x:ien orbitit
Sovellukset: Ryhmän toiminnot ovat keskeisiä symmetriyksen tutkimisessa, polttomittujen tai kerrosten perusteella tehtävissä laskuissa ja erityisesti orbioiden