relaatioita

Relaatiot ovat matemaattisia suhteita kahden tai useamman joukon välillä. Ne määritellään usein alajoukkoa A×B, jossa A ja B ovat joukot. Jos A on sama kuin B, puhutaan relaatiosta joukolle itselleen. Relaatiot kuvaavat, miten alkioiden välille voidaan asettaa yhteyksiä ja ominaisuuksia, ja ne muodostavat perustan monille rakenteille matematiikassa sekä sovelluksissa kuten tietojenkäsittelyssä.

Suurin osa relaatiotyypeistä määritellään ominaisuuksien kautta. Relatiolle R ⊆ A×A voidaan puhua esimerkiksi: refleksiivisyydestä, jos jokaiselle a ∈ A pätee (a,a) ∈ R; symmetrisyydestä, jos (a,b) ∈ R → (b,a) ∈ R; transitiivisuudesta, jos (a,b) ∈ R ja (b,c) ∈ R → (a,c) ∈ R. Lisäksi voidaan puhua antisymmetrisyydestä (jos (a,b) ∈ R ja (b,a) ∈ R, niin a = b) sekä kokonaisuudesta/totaliteetista. Funktio on erityinen relaatiotyyppi, jossa jokaiselle a ∈ A liittyy tarkalleen yksi b ∈ B.

Esimerkkejä: yhtäläisyysrelaatio E = { (a,a) | a ∈ A } on refleksiivinen ja symmetrinen sekä transitiivinen. Vähemmän kuin tai suurin kuin -relaatiot koskevat lukujoukkoja: ≤ on refleksiivinen, yleistetty transitiivinen ja antisymmetrinen, kun taas < on irrefleksiivinen ja transitiivinen. Monia muita relaatioita käytetään esimerkiksi järjestelmissä, järjestelmäanalyysissä ja loogisissa rakenteissa.

Relaatiot voidaan esittää graafeina tai matriiseina; niiden kubautuminen mahdollistaa suhteiden analyysin ja sovellukset tietokannoissa, algoritmeissa sekä tilastollisissa ja kielellisissä tutkimuksissa.