yhtäläisyysrelaatio

Yhtäläisyysrelaatio, tunnetaan myös nimellä ekvivalenssirelaatio, on relaatio, joka täyttää kolme ominaisuutta: refleksiivisyys, symmetrisyys ja transitiivisyys. Refleksiivisyys tarkoittaa, että jokainen alkio on yhtäpitävä itsensä kanssa. Symmetrisyys tarkoittaa, että jos alkio a on yhtäpitävä alkion b kanssa, niin b on yhtäpitävä a:n kanssa. Transitiivisuus tarkoittaa, että jos a on yhtäpitävä b:n kanssa ja b on yhtäpitävä c:n kanssa, niin a on yhtäpitävä c:n kanssa.

Yhtäläisyysrelaatiot jakavat joukon osajoukkoihin, joita kutsutaan ekvivalenssiluokiksi. Jokainen ekvivalenssiluokka sisältää kaikki ne alkiot, jotka ovat yhtäpitäviä keskenään. Jokainen joukon alkio kuuluu täsmälleen yhteen ekvivalenssiluokkaan. Ekvivalenssiluokat muodostavat partition joukon, mikä tarkoittaa, että ne ovat erillisiä ja niiden yhdiste on koko joukko.

Matematiikassa yhtäläisyysrelaatioita esiintyy monissa yhteyksissä. Esimerkiksi lukujen jakaminen tietyllä luvulla muodostaa yhtäläisyysrelaation, jossa kaksi lukua ovat ekvivalenssiluokassa, jos niiden erotus on jaollinen kyseisellä luvulla. Geometriassa muotojen yhtenevyys on esimerkki yhtäläisyysrelaatiosta. Joukko-opissa joukkojen välinen bijektiivisyys määrittelee yhtäläisyysrelaation. Yhtäläisyysrelaatiot ovat perustavanlaatuisia käsitteitä abstraktissa algebrassa ja muiden matemaattisten rakenteiden tutkimuksessa.