yhtäläisyysrelaation

Yhtäläisyysrelaatio, tunnetaan myös nimellä ekvivalenssirelaatio, on relaatio joukon alkioiden välillä, joka täyttää kolme ominaisuutta: refleksivisyys, symmetrisyys ja transitiivisyys. Refleksiivisyys tarkoittaa, että jokainen joukon alkio on relaatiossa itsensä kanssa. Symmetrisyys puolestaan sanoo, että jos alkio a on relaatiossa alkion b kanssa, niin myös alkio b on relaatiossa alkion a kanssa. Transitiivisuus määrittelee, että jos alkio a on relaatiossa alkion b kanssa ja alkio b on relaatiossa alkion c kanssa, niin myös alkio a on relaatiossa alkion c kanssa.

Yhtäläisyysrelaatiot jakavat joukon osiin, joita kutsutaan ekvivalenssiluokiksi. Jokainen ekvivalenssiluokka sisältää kaikki ne alkiot, jotka ovat relaatiossa keskenään. Jokainen joukon alkio kuuluu täsmälleen yhteen ekvivalenssiluokkaan, ja eri ekvivalenssiluokat ovat aina erillisiä. Tämä ominaisuus tekee yhtäläisyysrelaatioista keskeisiä matemaattisessa rakenteiden ja luokittelun kannalta.

Esimerkkejä yhtäläisyysrelaatioista löytyy monilta matematiikan aloilta. Joukon alkioiden yhtäsuuruus on klassinen esimerkki yhtäläisyysrelaatiosta. Myös geometrian paralleeli-käsite on yhtäläisyysrelaatio suorien joukossa. Lukuteoriassa kongruenssi modulo n on toinen tärkeä esimerkki, joka jakaa kokonaisluvut ekvivalenssiluokkiin niiden jakojäännöksen perusteella. Yhtäläisyysrelaatioiden ymmärtäminen on perustavanlaatuista abstraktissa algebrassa ja joukko-opissa.