yhtäläisyysrelaatioista

Yhtäläisyysrelaatio, tunnettu myös nimellä ekvivalenssirelaatio, on binäärinen relaatio, joka täyttää kolme tietyllä tapaa yhdistettyä ehtoa. Nämä ehdot ovat refleksiivisyys, symmetrisyys ja transitiivisyys. Olkoon R relaatio joukon A alkioiden välillä. R on yhtäläisyysrelaatio, jos kaikille joukon A alkioille a, b ja c pätee seuraavat ehdot: Ensinnäkin, refleksiivisyyden mukaan a R a. Toiseksi, symmetrisyyden mukaan, jos a R b, niin myös b R a. Kolmanneksi, transitiivisuuden mukaan, jos a R b ja b R c, niin myös a R c.

Yhtäläisyysrelaatiot ovat keskeisiä matematiikassa, koska ne jakavat joukon ositukseksi, eli kokoelmaksi epätyhjiä, erillisiä osajoukkoja, joiden yhdiste on alkuperäinen joukko. Näitä osajoukkoja kutsutaan ekvivalenssiluokiksi. Kaksi alkiota kuuluvat samaan ekvivalenssiluokkaan, jos ja vain jos ne ovat relaatiossa keskenään.

Esimerkkejä yhtäläisyysrelaatioista ovat esimerkiksi samuus (a = b), jossa kaksi alkiota ovat relaatiossa, jos ne ovat identtisiä. Toinen yleinen esimerkki on kongruenssi modulo n lukuteoriassa, jossa kaksi kokonaislukua ovat relaatiossa, jos niiden erotus on jaollinen n:llä. Geometriassa samankaltaisuus tai yhtenevyys ovat myös esimerkkejä yhtäläisyysrelaatioista.