yhtäläisyysrelaatioita

Yhtäläisyysrelaatio, eli ekvivalenssirelaatio, on matemaattinen relaatio, joka täyttää tietyt ehdot joukon elementtien välillä. Se on yksi joukko-opin keskeisimmistä käsitteistä. Yhtäläisyysrelaatio jakaa joukon osijoukkoihin, joita kutsutaan ekvivalenssiluokiksi. Kaikki saman ekvivalenssiluokan elementit ovat keskenään yhtäpitäviä kyseisen relaation mielessä.

Jotta relaatio R joukolla A olisi yhtäläisyysrelaatio, sen on täytettävä kolme ehtoa: refleksiivisyys, symmetrisyys ja transitiivisuus. Refleksiivisyys tarkoittaa, että jokainen joukon A alkio a on relaatiossa itsensä kanssa, eli (a, a) ∈ R. Symmetrisyys puolestaan sanoo, että jos alkio a on relaatiossa alkion b kanssa, niin myös b on relaatiossa a:n kanssa, eli jos (a, b) ∈ R, niin (b, a) ∈ R. Lopuksi, transitiivisuus ilmoittaa, että jos a on relaatiossa b:n kanssa ja b on relaatiossa c:n kanssa, niin myös a on relaatiossa c:n kanssa, eli jos (a, b) ∈ R ja (b, c) ∈ R, niin (a, c) ∈ R.

Yhtäläisyysrelaatiot ovat hyödyllisiä luokittelemaan ja ryhmittelemään kohteita. Esimerkiksi lukujen kongruenssi modulo n on yhtäläisyysrelaatio. Kahden kokonaisluvun sanotaan olevan kongruentteja modulo n, jos niiden erotus on jaollinen luvulla n. Tämä relaatio jakaa kokonaislukujen joukon n kappaleeseen ekvivalenssiluokkia, joista jokainen sisältää kaikki ne luvut, jotka antavat saman jakojäännöksen jaettaessa luvulla n. Myös geometrian eri muunnokset, kuten yhtenevyys, muodostavat yhtäläisyysrelaatioita.