reaaliluvuissa

Reaaliluvut (R) muodostavat lukujen joukon, johon kuuluvat sekä rationaaliluvut että irrationaaliluvut. Ne kuvaavat jatkuvia suureita ja toimivat yleisimpänä lukujärjestelmänä matematiikassa sekä luonnontieteissä.

Reaaliluvut muodostavat täydellisen järjestetyn kentän: yhteenlasku ja kertolasku ovat määriteltyjä, ja luvut ovat suljettuja näille operaatiolle. Järjestys on yhteensopiva näiden operaatioiden kanssa. Täydellisyys tarkoittaa, että jokaiselle ei-tyhjälle ylärajoitetulle joukolle R löytyy suurin yläraja (supremum). Näin ei ole aukkoja luvun reaalisen kuvaamisen ja rajojen käsittelyn osalta.

Reaaliluvut voidaan rakentaa useilla tavoilla. Yleisimmät ovat desimaaliesitykset sekä matemaattiset konstruktiot, kuten Cauchy-sarjoista rationaaliluvuista muodostuvat rajoitteet tai Dedekind-katkot. Desimaaliesitykset näyttävät sekä rationaaliluvut että irrationaaliluvut: irrationaaliluvut eivät voi päättyä tai toistua säännöllisesti. Esimerkkejä irrationaaliluvuista ovat sqrt(2) ja pi.

Topologisesti ja analyyttisesti reaaliluvut muodostavat täydellisen metrisen tilan, jonka etäisyysfunktio on d(x,y)=|x−y|. Tämä mahdollistaa jatkuvuuden, rajat, konvergenssin ja integraation sekä derivoinnin Suomessa ja monissa muissa maissa käytettävän laskennan perustan. Rationaaliluvut ovat tiheitä reaaliluvuissa, eli väleistä löytyy aina sekä rationaalinen että usein myös irrationaalinen lukusarja.

Käyttö ja merkintä: Merkitään setti R suurilla kirjaimilla. Reaaliluvut muodostavat analyyttisen matematiikan ja fysiikan perusogrammin, ja ne toimivat usein perustana funktioiden määrittelylle, raja-arvoille sekä integraatioille. Laajuudessaan ne myös mahdollistavat siirtymät kohti kompleksilukuja.