ratkaisuavaruuden

Ratkaisuavaruus tarkoittaa kaikkien ratkaisujen joukkoa jollekin yhtälölle tai järjestelmälle. Se kuvaa niitä arvoja, joita muuttujat voivat saada niin, että annetut ehdot toteutuvat. Yleisesti ratkaisuavaruus voidaan esittää parametrisesti tai geometrisesti, ja se voi olla tyhjä, yksittäinen piste, suora, taso tai yleisempi affiinialue.

Lineaarisissa järjestelmissä ratkaisuavaruus erotetaan homogenisesta ja ei-homogeenisesta tapauksesta. Homogeeninen järjestelmä Ax = 0 tuottaa ratkaisujen nollamatriisin lisäksi mahdollisesti muitakin ratkaisuja; sen ratkaisuavaruus on vektoriavaruus, jonka dimensio on n - rank(A). Ei-homogeeninen järjestelmä Ax = b (b ≠ 0) koostuu kaikkien ratkaisuja, ja sen joukko on affiinialue: valitse jokin tietty ratkaisu x_p ja yhdistä siihen homogeenisen järjestelmän ratkaisut N(A). Tulos on muotoa { x_p + z : z ∈ N(A) }.

Ratkaisuavaruuden käsite yhdistää lineaarialgebran ja geometrian. Sen rakenteesta voidaan päätellä ratkaisujen lukumäärä, riippuen matriisin A ominaisuuksista ja vektorin b: rank(A) sekä n muuttujien määrä määrittelevät mahdollisen ratkaisujen määrän ja tyypin. Ratkaisuavaruuden etsiminen yleisesti tapahtuu rivinreduktioiden avulla, joiden kautta saadaan basis N(A) sekä mahdollinen esimerkkiratkaisu x_p.