proporsjonaldifferentiel

Proporsjonaldifferential, eller en proporsjonal differential, er et begrep innen calculus som beskriver et differensialforhold der en differensial er proporsjonal med en annen. Det uttrykkes ofte som dy ∝ dx, eller i mer eksplisitt form dy = k dx, der k er konstanten for proporsjonalitet. Dersom k er konstant, gir integrasjon at y og x står i en rett linje: y = kx + C.

Hvis k derimot avhenger av x, k = k(x), blir forholdet dy/dx = k(x). Den generelle løsningen er y(x) = ∫ k(x) dx + C. Dette viser hvordan y affiseres av den lokale verdien av k ved hvert punkt x, og betegnes ofte som en førsteordens differensialligning.

Eksempler og anvendelser: Et enkelt konstantforhold som dy = 3 dx tilsvarer y = 3x + C. Mange fysiske og tekniske prosesser beskrives av proporsjonale differensialer: rate of change dy/dt kan være proporsjonal med en annen variabel, noe som leder til førsteordens differensiallikninger som løsninger via integrasjon.

Forhold til differensialligninger: Å skrive dy = k dx er et separabelt eller lineært førsteordens problem, avhengig av om k er konstant eller funksjon av x. Når k er konstant, er løsningen en rett linje; når k varierer, er løsningen en antiderivat av k(x).

Egenskaper og presisering: Begrepet fremhever lokal proporsjonalitet, der forholdet mellom små endringer følger en fast eller kjent funksjon. I streng matematisk omtale brukes ofte dy/dx = f(x) eller dy = f(x) dx; “proporsjonaldifferential” kan da være en beskrivelse av denne typen forhold, heller enn en offisiell teknisk term.