potentiaalifunktioon

Potentiaalifunktio on skaalarinen funktio φ, jonka gradientti antaa jonkin vektori- kentän F: F = ∇φ. Tämä tarkoittaa, että kenttä voidaan esittää potentiaalin kautta ja työn laskeminen siirryttäessä pisteestä a pisteeseen b riippuu vain näiden pisteiden arvoista: ∫_C F · dr = φ(b) − φ(a). Näin kenttä on konservatiivinen.

Olosuhteet olemassaololle: potentiaalifunktio ei aina ole olemassa jokaisella alueella. Jos alue on yksinkertaisesti yhdensuuntautunut ja F on jatkuvasti derivoituva sekä curl F = 0, niin on olemassa φ, jolle F = ∇φ. Toisaalta, jos potentiaalifunktio φ on olemassa, F on tällöin konservatiivinen. Potentiaalifunktion arvo on lisäksi määritelty vain lisättävällä vakiolla, joten φ on määritelty up to constant.

Konventio ja esimerkit: fysiikassa yleisesti käytetty konventio on F = −∇V, jossa V on potentiaali ja F on voima. Tällöin esimerkiksi sähköinen kenttä E täytyy E = −∇V, gravitaatiokenttä g = −∇Φ.

Käyttöalueet: potentiaalifunktio on keskeinen käsite sekä matematiikassa että fysiikassa. Se mahdollistaa reittivapaan käyrälaskennan, potentiaalienergian käsitteen sekä energian muutosten tarkastelun. Potentiaalifunktio liittyy usein myös erilaisiin teorioihin, kuten potentiaaliteoriaan ja harmonicisiin funktioihin.