populaatiokeskiarvolle

Populaatiokeskiarvo on tilastotieteen keskeinen parametri, joka kuvaa yhden muuttujan koko populaation keskimmäistä arvoa. Sen symboli on usein μ, ja se määritellään muodossa μ = (1/N) ∑_{i=1}^N x_i, jossa N on populaation havaintojen lukumäärä ja x_i ovat yksittäisiä havaintoja. Populaatiokeskiarvo vastaa odotusarvoa: jos X on muuttuja, jonka arvo noudattaa populaation jakaumaa, odotusarvo E[X] = μ.

Koska populaatiokeskiarvo on harvoin tiedossa, sitä estimoi otoskeskiarvo x̄ = (1/n) ∑_{i=1}^n x_i, kun otos on satunnaisesti valittu. x̄ on populaatiokeskiarvon epävirallinen estimointi. Sen odotusarvo on μ (E[x̄] = μ) ja sen varianssi on Var(x̄) = σ^2 / n, missä σ^2 on populaation varians. Kun otoskoko n kasvaa, x̄ lähestyy μ ja jakauma tiivistyy. Suurella n:llä keskivirtaus noudattaa käytännössä normaalijakaumaa, kiitos keskivirran lain.

Käytännössä populaatiokeskiarvo toimii mittarina keskuksesta ja sitä käytetään inferenssissä, kun halutaan tehdä johtopäätöksiä koko populaatiosta sen perusteella, mitä havaitaan otoksessa. Rajoitteita ovat herkkyys poikkeaville arvoille ja epäyhtenäinen jakauma, jotka voivat vääristää tuloksia; tällöin vaihtoehdot, kuten mediaani tai robustit mittarit, voivat olla sopivampia.

Esimerkki: populaatio {2, 4, 6, 8, 10} on μ = 6. Otoskeskiarvo x̄ riippuu valitusta otannasta, mutta pitkällä aikavälillä otoskeskiarvo lähestyy 6. Katso myös otoskeskiarvo, odotusarvo ja varianssi.