populaatiokeskiarvoa

Populaatiokeskiarvo (μ) on tilastotieteessä populaation kaikkien havaintoarvojen teoreettinen keskiarvo. Se on populaation parametri, jota käytetään ilmiön keskiverto-arvon kuvaamiseen. Diskreetissä populaatiossa μ = (1/N) ∑_{i=1}^N x_i; jatkuvissa tapauksissa μ vastaa odotusarvoa E[X] sille jakaumalle.

Populaatiokeskiarvo on odotusarvo, eli pitkän aikavälin keskiarvo useiden havaintojen toistossa. Se määrittää, mitä arvoja populaation tyypillisesti tuottaa, kun huomioidaan kaikki yksiköt.

Koska μ:ta ei yleensä tiedetä, sitä arvioidaan otoksella. Yleisin estimointi on otoskeskiarvo x̄ = (1/n) ∑_{i=1}^n X_i, jonka odotusarvo on μ (x̄ on epästateisesti oikeudenmukainen estimointi). Otossä varianssi on Var(x̄) = σ^2 / n (iid-hypoteesin mukaan). Käytännössä σ^2 arvioidaan otoksesta s^2, jolloin standardivirhe on s/√n.

Käytännössä populaatiokeskiarvoa käytetään kuvaamaan keskivertoa ja sitä hyödynnetään inferenssissä kuten luottamusvälien laskennassa sekä hypoteesien testaamisessa. Keskiarvo voi olla herkkä poikkeaville arvoille, ja sen tulkinta riippuu jakauman muodosta; jos jakauma on vinonainen tai poikkeavia arvoja on paljon, voi olla tarpeen tarkastella myös muita tunnuslukuja, kuten mediaania.

Esimerkki: Jos X mittaa ihmisen pituutta senttimetreinä, μ on kaikkien populaation jäsenten todellinen keskipituus. Otoksen x̄ antaa arvion μ:stä, ja suuremmilla otosmäärillä x̄:n todennäköisyys lähestyä μ kasvaa.