polynominen

Polynominen is a mathematical term used to describe expressions, functions, or objects built from a finite sum of terms in which powers of a variable appear with constant coefficients. In the typical setting, a polynominen f in one variable x over a field F has the form f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0, where the coefficients a_i belong to F and a_n ≠ 0. The largest exponent n with a_n ≠ 0 is called the degree of the polynomial.

Polynomiset muodostavat rakenteen, jolla operoidaan laajasti. Yksinkertaisimmat operaatiot ovat yhteen- ja kertolasku sekä skalaarikertolasku: polynomiset voivat muodostaa renkaan F[x], jossa nollasta poikkeavalla polynomilla on sekä summa- että tuloperiaatteet. Kun F on reaali- tai kompleksilukujen joukko, polynomien määrittely antaa polynomifunktioita, joita usein käytetään reaalisina tai kompleksisina funktioina R → R tai C → C.

Jäljitys- ja tekijäisyyskysymykset ovat keskeisiä. Juuret (nollakohdat) ratkaisevat f(x) = 0, ja peruslauseen mukaan kompleksimaailmassa polynomi, jonka aste on n, tunnetaan täsmälleen n juurellaan (lukumäärä huomioiden). Reaaliin kokoelmaan voidaan muodostaa tekijöitä, joissa režyöjuuret voivat olla todellisia tai kompleksiyhdistelmäpareja, jolloin toisenkinden tekijät ovat irreducible.

Käytännössä polynomisia sovelletaan monin tavoin, kuten funktioiden lähentymissä (Taylorin sarjat), interpolaatiossa (Lagrangen polynomit) ja numeerisissa menetelmissä juurien etsinnässä. Polynominen käsite on keskeinen sekä algebrassa että analyyttisessa matematiikassa sekä niiden sovelluksissa.