permutaatiolle

Permutaatio on matemaattinen käsite, joka kuvaa tapaa järjestää joukon alkiot tiettyyn järjestykseen. Kun puhutaan permutaatiosta, tarkoitetaan usein kuvausta, jossa joukon jokainen alkio esiintyy täsmälleen kerran uudessa järjestyksessä. Esimerkiksi joukolla {1, 2, 3} on kuusi erilaista permutaatiota: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) ja (3, 2, 1).

Permutaatioita käytetään laajasti eri matematiikan aloilla, kuten kombinatoriikassa, ryhmäteoriassa ja todennäköisyyslaskennassa. Kombinatoriikassa permutaatioiden lukumäärän laskeminen on keskeinen tehtävä. Jos joukossa on n alkiota, on olemassa n! (n kertoma) erilaista permutaatiota, missä n! = n × (n-1) × ... × 2 × 1.

Ryhmäteoriassa permutaatiot muodostavat ryhmän, jota kutsutaan symmetriseksi ryhmäksi. Tämä ryhmä on fundamentaalinen monien muiden ryhmien rakenteen ymmärtämisessä. Symmetrisessä ryhmässä operaatio on kahden permutaation yhdistäminen, eli suoritetaan yksi permutaatio ja sen jälkeen toinen.

Permutaatioita voidaan esittää monin eri tavoin. Yksi yleinen tapa on luetella alkiot järjestettyinä, kuten yllä olevassa esimerkissä. Toinen tapa on käyttää kahden rivin merkintää, jossa ylempi rivi edustaa alkuperäistä järjestystä ja alempi rivi vastaavaa järjestystä permutaation jälkeen. Esimerkiksi permutaatio, joka järjestää {1, 2, 3} muotoon {2, 3, 1}, voitaisiin esittää seuraavasti:

1 2 3

2 3 1

---