permutaatiosta

Permutaatiosta tarkoitetaan matemaattista ilmiötä, jossa alkioiden järjestys muutetaan. Yleensä tarkastellaan n erillisen Alkioiden joukkoa {1, 2, ..., n}. Kaikki tämän joukon permutaatiot muodostavat ryhmän, jota Merkitään S_n. Jäsenet ovat bijektioita joukosta X takaisin itseensä ja ne kuvaavat uuden järjestyksen alkioille. Esimerkiksi n = 3 joukossa {1,2,3} on kuusi permutaatiota: (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2) ja (3,2,1).

Permutaatiot voidaan esittää useilla tavoilla, kuten listaamalla järjestys p = (p(1), p(2), ..., p(n)) tai kiertoina, esim. kierto (1 2 3) tarkoittaa, että 1 siirtyy paikkaan 2, 2 paikkasta 3 ja 3 paikkansa 1. Ryhmä S_n koostuu kaikista näistä järjestyksistä ja sen kertolasku vastaa uuden permutaation sovellusta vanhalle. Määräyksenä S_n on n! (faktoriaali).

Pariteetti on permutaation ominaisuus, joka riippuu siitä, kuinka monta täydennettä vaihtoa tarvitaan sen toteuttamiseen. Even permutaatiot koostuvat jopa parittomien vaihtojen määrä on pariton; odd permutaatiot ovat päinvastaisia. Inversiot eli epäsymmetriset pareittaiset järjestelyt määrittävät pariteetin. Permutaatiot liittyvät myös derangements- tai hylättyihin permutaatiokohtiin, joissa mikään alkio ei säily paikkansa.

Sovelluksia on monia: järjestyksen vaihtaminen ohjelmistoissa (esim. lajittelualgoritmit), salaus ja koodaus, suunnittelutehtävät sekä symmetriakurien tutkimus. Permutaatiot muodostavat myös keskeisen työkalun kombinaatiomatematiikassa ja lineaarialgebrassa, esimerkiksi permutation matrices ja ryhmät, joihin ne liittyvät.