parabelabschnitts

Der Parabelabschnitt bezeichnet den Teil einer Parabel, der zwischen zwei Punkten P1 und P2 der Parabel verläuft. mathematisch gesehen ist er der Kurvenabschnitt des Graphen einer quadratischen Funktion y = f(x) zwischen den x-Koordinaten x1 und x2 der Endpunkte. Er wird durch die Endpunkte oder durch Start- und Endparameter eindeutig bestimmt.

Für eine Parabel der Form y = ax^2 + bx + c, mit den Endpunkten x1 und x2, gilt: Der Parabelabschnitt ist der Graph von y über dem Intervall von x1 bis x2. Die Länge dieses Halbsegments (der Längeninhalt der Kurve) ergibt sich aus der Bogenlänge L = ∫ von x1 bis x2 sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx. Hier ist dy/dx = 2ax + b, so dass L = ∫ von x1 bis x2 sqrt(1 + (2ax + b)^2) dx. Eine geschlossene Form ergibt sich, wenn a ≠ 0 und u = 2ax + b gilt: L = (1/(4a)) [ u sqrt(1 + u^2) + asinh(u) ] von u1 bis u2, wobei u1 = 2a x1 + b und u2 = 2a x2 + b. Ist a = 0, reduziert sich der Parabelabschnitt auf eine Geradenlänge.

Alternative Sichtweisen nutzen oft die Standardform y = x^2 oder Parametrisierungen, etwa r(t) = (t, t^2). Dann ist die Längenberechnung L = ∫ sqrt(1 + (2t)^2) dt über das Intervall der Parameter.

Der Parabelabschnitt ist damit die konkrete Kurvenlänge zwischen zwei auf der Parabel liegenden Punkten. Als verwandter Begriff bezeichnet Parabelsegment meist den Flächenanteil zwischen Parabel und Geraden; die beiden Konzepte begegnen einander häufig in Geometrie und Anwendung.