optimalreglering

Optimalreglering är en gren av kontrollteorin som studerar hur man utformar styrsignaler för att optimalt styra en dynamisk process över tid. Målet är att minimera kostnader eller maximera nytta under en given tidsperiod medan systemet följer sin dynamik och uppfyller eventuella tillstånds- och kontrollbegränsningar.

Modellen bygger vanligtvis på en dynamiksekvation: i kontinuerlig tid ẋ = f(x, u, t) eller i diskret tid x_{k+1} = f(x_k, u_k, t_k). Tillståndet x beskriver systemets aktuella läge och kontrollen u är styrsignalen. Kostnadsfunktionen är ofta av Bolza-typ: J = φ(x(T)) + ∫_0^T L(x(t), u(t), t) dt, där φ är terminalkostnaden och L är den löpande kostnaden. Problemställningen kan omfatta begränsningar på tillstånd och kontroll.

Viktiga metoder är Pontryagins maximala princip, som ger nödvändiga villkor för optimalitet, och dynamisk programmering med Hamilton-Jacobi-Bellman-ekvationen, som behandlar värdefunktionen och leder till en optimal policy. Ett särskilt vanligt fall är linjär-kvadratisk reglering (LQR) där ett linjärt system med kvadratiska kostnader ger en Riccati-ekvation som avgör den optimala feedbacken u = −Kx.

Numeriska metoder inkluderar direkt transkription och kollocation samt indirekta metoder som skottning. Användningar finns inom robotik, flyg- och fordonsindustri, energi, ekonomi och processreglering. Optimalreglering utgör också en grund för modellbaserad reglering och kopplas till modellbaserad MPC.

Historia: rötterna ligger i variational calculus; Pontryagins maximala princip och Bellmans dynamiska programmering utvecklades på 1950-talet. Modern forskning fokuserar på numerik och effektiv approximation.