oppervlaktesintegraal

Een oppervlakteintegraal, ook wel oppervlakte­sintegraal genoemd, is een integraal die over een oppervlakte in de driedimensionale ruimte wordt uitgevoerd. Er bestaan twee hoofdtypen: de oppervlakte-integral van een scalair veld over een oppervlak S en de flux‑integral van een vectorveld door S.

Laat S een glad oppervlak zijn met een parameterisatie r(u, v) : D ⊂ R^2 → S. Voor een scalair veld f op S definieert men de oppervlakte-integral als

∫∫_S f dS = ∫∫_D f(r(u, v)) ||r_u × r_v|| du dv.

Hier wordt dS = ||r_u × r_v|| du dv gebruikt als het lokale oppervlakte-element.

Voor een vectorveld F definieert men de flux door S als

∫∫_S F · n dS = ∫∫_D F(r(u, v)) · (r_u × r_v) du dv,

waar n de gekozen eenheidsnormaal is die door de orientatie van de parameterisatie wordt bepaald via n = (r_u × r_v)/||r_u × r_v||.

Een veelvoorkomend voorbeeld is dS voor oppervlakken die als grafiek z = g(x, y) gegeven zijn, met r(x, y) = (x, y, g(x, y)). Dan r_x × r_y = (-g_x, -g_y, 1) en

dS = ||r_x × r_y|| dx dy = sqrt(1 + g_x^2 + g_y^2) dx dy.

Daarmee wordt bijvoorbeeld de oppervlakte van S berekend als ∫∫_D sqrt(1 + g_x^2 + g_y^2) dx dy.

Oppervlakteintegralen worden toegepast bij het berekenen van oppervlakte-als-afbeelding, massaveldflux door een oppervlak, en in fysica en techniek bij problemen met flux en massadeeltjes. Theoretisch zijn ze nauw verbonden met de stelling van Stokes en de divergenstheorema van Gauss.