normielementtien

Normielementtien käsite kuuluu normoitujen tilojen ja algebrojen perustoihin. Yleisesti normielementti tarkoittaa vektori- tai algebraelementti, jonka normi on yhtä suuri kuin yksi. Tällöin kyseessä on yksikkönorminen elementti, ja sen määritelmä riippuu käytetystä normista.

Määritelmä. Olkoon V normoitua tilaa varten jokin kuvaava normaatiotunnus ||·||. Tällöin normielementti on v ∈ V, jolle pätee ||v|| = 1. Tämä pätee sekä vektoriavaruuksille (esim. R^n, C^n, L^p-tilat) että normialgebroille, joissa pätee monenkertaisesti mitoittuva normi. Kun V on Banach- tai Hilbert -tila, normielementit muodostavat yksikkökuoren eli setin {v ∈ V : ||v|| = 1}.

Esimerkit. Pistemäisillä tiloilla: R^n normaalilla Euclidisen normin mukaan normielementtejä ovat kaikki yksikkövektorit, kuten (cos θ, sin θ) R^2:ssa. Kompleksisissa tiloissa C, pisteet z, joiden |z| = 1, sijaitsevat yksikköympyrällä. L^p-tiloissa samoin v:llä ||v||_p = 1. Yksikkökuori on yleensä suljettu ja sulkeutuva setti, mutta ei avautuva.

Ominaisuudet. Normielementit eivät muodosta suljettua joukkoa sulkuryhmässä, sillä ne eivät ole suljettuja yhteenlaskun suhteen. Ne ovat kuitenkin invariantsia; monimutkaisissa tiloissa kertolaskun, jakamisen tai isometrioiden kautta niiden joukko voi säilyä, riippuen rakenteesta. Hilbert-tiloissa normi liittyy usein sisätuloihin, ja normielementtejä voidaan käyttää mittarina tai suuntaa määrittävänä vektoreina.

Sovellukset. Käytetään muun muassa optimoinnissa rajoitteina (normi-1vakiot), data-analyysissä ja koneoppimisessa normalisoinnissa sekä erilaisissa algoritmeissa, joissa vektorit halutaan pitää yksikkömitoituksella. Normielementtien tunteminen auttaa ymmärtämään tilan geometrian ja sen symmetrioita.

Katso myös: yksikkövektori, unit sphere, Banach-tila, Hilbert-tila, normi.