yksikkövektorit

Yksikkövektori on vektori, jonka pituus (normi) on yksi. Se määrittää suunnan, mutta ei kokoa, ja sitä käytetään ilmaisemaan suuntaa erillään vektorin pituudesta.

Jos v on ei-nolla vektori, sen yksikkövektori samassa suunnassa on hat{v} = v / ||v||. Tämä on määritelty vain v ≠ 0, koska nollavektori ei voi määrittää yksiselitteistä suuntaa.

Normi on määritelty sisätulon avulla: ||v|| = sqrt(v·v). Yksikkövektorit voidaan muodostaa myös ortonormaaleista basisvektoreista. Jos e_i ovat ortonormaaleja, missä e_i·e_j = δ_ij, niin v voidaan kirjoittaa v = sum_i (v·e_i) e_i, ja v·e_i on v:n i:nnen komponentti.

Esimerkki 2D-tilassa: jos v = (x, y), niin ||v|| = sqrt(x^2 + y^2) ja yksikkövektori samassa suunnassa on u = v / ||v|| = (x/√(x^2+y^2), y/√(x^2+y^2)). Standardissa koordinaatistossa käytetään usein perusvektoreita e_1 = (1,0) ja e_2 = (0,1), jolloin v_i = v·e_i ja v = v_1 e_1 + v_2 e_2.

Käytännön sovelluksissa yksikkövektoreita käytetään projekteissa, kulman laskemisessa sekä suunnan ilmaisemisessa ilman suuremman vektorin pituuden vaikutusta. Projisioiden lasku on esimerkki: proj_u v = (v·u) u, kun u on yksikkövektori. Yksikkövektoreiden kokoelma voi muodostaa ortonormaalin perustan, jolloin avaruus jaetaan omiin koordinaatteihinsa. Muista, että nollavektorille yksikkövektoria ei voi määrittää.