basisvektoreista

Basisvektoreista kertova artikkeli

Basisvektorit ovat vektoreita, joiden avulla voidaan ilmaista kaikki tietyssä vektoriavaruudessa olevat vektorit lineaarisella yhdistelmällä. Olkoon V vektoriavaruus ja B = {v1, ..., vn} joukko V:lle. B on basis, jos v1, ..., vn ovat lineaarisesti riippumattomia ja spanni (siten kattava) V. Tällöin V:n ulottuvuus (dimensio) on n. Jokainen v ∈ V voidaan kirjoittaa ainutlaatuisesti muodossa v = a1 v1 + ... + an vn, missä a1, ..., an ovat koordinaatit suhteessa B.

Koordinaatit ja merkitys: Koordinaatit a1, ..., an kuvaavat, kuinka paljon kukin basisvektori viittaa v:iin. Eri basislistat antavat eri koordinaatistot, mutta sama vektori säilyy physically saman avaruuden sisällä.

Esimerkkejä: R^2:ssa standardibasis on e1 = (1, 0) ja e2 = (0, 1). Jokainen v = (x, y) voidaan kirjoittaa v = x e1 + y e2. Toinen basis voisi olla B' = {b1 = (2, 1), b2 = (1, 3)}, jonka avulla v voidaan esittää v = a1 b1 + a2 b2; tällöin a1, a2 ovat koordinaatit suhteessa B':iin.

Muutoksen basis: Jos B on basis ja E on standardibasis, matriisi P, jonka kolumnit ovat B:n vektoreiden koordinaatit standardissa, täyttää [v]_E = P [v]_B. Vastaavasti [v]_B = P^{-1} [v]_E. Tämä on peruste lineaarien kuvausten ja matriisikuvauksien siirtämisessä basisesta toiseen.

Ortonormaali ja sovellukset: Jos basis on ortonormaali, koordinaatit saadaan usein helposti dot-tulon avulla: a_i = v · v_i. Basisvektoreita käytetään laajasti lineaaristen transformaatioden ja matriisiesitysten yhteydessä, sekä geometriassa jaDifferentiaalilaskennassa.