nichtabelschen

Nichtabelsche Gruppen, auch als nicht-abelsche Gruppen bezeichnet, sind Gruppen, deren Verknüpfung nicht kommutativ ist. Das bedeutet, es gibt Paare von Elementen a und b mit dem Produkt ab ungleich ba. Im Gegensatz dazu sind abelsche Gruppen solche Gruppen, in denen für alle a und b gilt: ab = ba.

Beispiele für nichtabelsche Gruppen sind die symmetrische Gruppe S3 der Permutationen von drei Objekten, die Dihedralgruppe D4 der Symmetrien eines Quadrats, sowie die Quaternionengruppe Q8. Allgemein gilt: Für n ≥ 3 ist die Symmetriegruppe Sn nichtabelsch. Auch in der linearen Algebra liefern Matrizenmultiplikation innerhalb der Gruppe GL(n, F) für n ≥ 2 nichtabelsche Beispiele. Nichtabelsche Gruppen kommen außerdem in der Geometrie, der Physik und der Theorie der Symmetrien vor.

Wichtige Eigenschaften nichtabelscher Gruppen betreffen die Struktur ihrer Nicht-Kommutaivität. Der Mengensatz der Kommutatoren [G, G] ist eine Normaluntergruppe von G, und die Quotientengruppe G/[G, G] ist abelsche Gruppe. Aus Nichtabelleskeit folgt, dass der Kommutatoruntergruppe nichttrivial ist, sofern G nicht trivial abelsch ist. Die Untersuchung nichtabelscher Gruppen führt auch zur Studie endlicher nichtabelscher Gruppen und zu ihrer Klassifikation, insbesondere der endlichen einfachen nichtabelschen Gruppen.

Zusammenfassend bezeichnet der Begriff nichtabelschen Gruppen eine zentrale Klasse in der Gruppentheorie, deren Hauptmerkmal die Nicht-Kommutaivität der Gruppenoperation ist.