Nichtabelsche

Nicht-abelsche Strukturen bezeichnen in der Mathematik solche, bei denen die zugrundeliegende Operation nicht kommutativ ist. Am häufigsten tritt dieses Merkmal bei Gruppen auf: Eine Gruppe G heißt abelsch, wenn für alle Elemente a und b gilt, dass ab = ba. Existiert dagegen mindestens ein Paar, für das ab ≠ ba, spricht man von einer nicht-abelschen Gruppe.

Typische Beispiele sind die Symmetriegruppe S3 der drei Objekte, die Dihedralgruppe D4 der Vielfach-Symmetrien eines Quadrats und die Quaternionengruppe Q8; weitere wichtige Beispiele sind die nicht-abelschen einfachen Gruppe A5. Nicht-abelsche Gruppen können in ihrer Struktur sehr unterschiedlich komplex sein, im Gegensatz zu abelschen Gruppen, bei denen alle Operationen vertauschbar sind.

Eigenschaften: Die Nichtkommutativität zeigt sich im Kommutator [a,b] = a^{-1} b^{-1} a b. Der Mittelpunkt Z(G) einer Gruppe besteht aus allen Elementen, die mit allen anderen kommutieren; gilt G als abelsch, so gilt Z(G) = G. Nicht-abelsche Gruppen weisen typischerweise eine reiche Struktur von Untergruppen und Automorphismen auf.

Erweiterungen: Der Begriff nicht-abelscher Struktur erstreckt sich auch auf andere algebraische Systeme, wie Matrixringe, Lie-Algebren und verschiedene Kategorien, in denen Multiplikation oder Verkettung nicht kommutieren muss.

Bedeutung: Nicht-abelsche Strukturen liefern häufig die Grundlage für komplexe Symmetrien und Wechselwirkungen. In der Physik spielen nicht-abelsche Gauge-Theorien eine zentrale Rolle, während in der Mathematik nicht-abelsche Gruppen ein zentrales Forschungsgebiet darstellen.