m×nmatriisi

m×n-matriisi on m rivin ja n sarakkeen muodostama matriisi, joka sisältää alkioita a_ij kohdassa (i, j). i on indeksi riville ja j sarakkeelle, joten i = 1,…,m ja j = 1,…,n. Alkioita voidaan katsoa luvujen kentän F jäseninä; yleisimmin käytettyjä ovat reaali- ja kompleksiluvut, jolloin matriisi kuuluu F^{m×n} (esim. ℝ^{m×n} tai ℂ^{m×n}).

Koko määrittää rivien ja sarakkeiden määrän. Esimerkiksi 2×3-matriisi koostuu kahdesta rivistä ja kolmesta sarakkeesta. Matriisin merkintä A ∈ F^{m×n} kuvaa sen muotoa ja kokoa.

Perusoperaatiot: Matriiseja voidaan lisätä tai vähentää vain samanmuotoisina (m×n). Skalaarikertolasku: cA määritellään c ∈ F. Matriisien kertolasku A ∈ F^{m×n} ja B ∈ F^{n×p} tuottaa tuloksen AB ∈ F^{m×p}, jonka alkio on (AB)_ij = sum_{k=1}^n a_ik b_kj.

Transponointi: A^T ∈ F^{n×m} on matriisi, jossa a_ij siirtyy paikkaan a_ji. Determinantti det(A) on määritelty vain n×n-matriiseille; jos det(A) ≠ 0, matriisilla on kääntäjä A^{-1}. Rank r(A) kuvaa rivien tai sarakkeiden lineaarista riippumattomuutta; r(A) on suurin mahdollinen määrä lineaarisesti riippumattomia rivejä tai sarakkeita.

Erikoistapauksia ja sovelluksia: Neliömatriisi (m=n) ja identiteetti I_n sekä diagonaalimatriisit ovat tärkeitä erityisalat. Matriiseja käytetään lineaarisissa järjestelmissä Ax = b, lineaarisissa muunnoksissa sekä tilan kuvaamisessa, optimoinnissa ja datan mallintamisessa.