Matriiseja

Matriisi (monikko: matriiseja) on m × n -kokoelma lukuarvoja, järjestetty rivien ja sarakkeiden muodostamaksi taulukoksi. Jokainen alkio a_ij sijaitsee rivillä i ja sarakkeessa j. Matriisi voi koostua reaaliluvuista tai kompleksiluvuista, ja sitä voidaan nähdä lineaarisena karttana, joka muuntaa n-ulotteisen avaruuden m-ulotteiseksi. Merkitään A ∈ R^{m×n} tai A ∈ C^{m×n}.

Perusoperaatiot: matriisien yhteen- ja vähentäminen sekä skalaari kertominen toteutetaan alkioittain. Kahden matriisin tulo A ∈ R^{m×p} ja B ∈ R^{p×n} tuottaa C ∈ R^{m×n}, jonka alkio on c_ij = ∑_{k=1}^{p} a_ik b_kj. Transpoosi A^T vaihtaa rivit ja sarakkeet: (A^T)_{ji} = a_ij. Yleinen neliömatriisi I_n on diagonaalialkiosta muodostuva identiteettimatriisi, jolla I_n x = x.

Kääntäminen ja ominaisuudet: A on kääntyvä (invertible) jos se on neliö (m = n) ja det(A) ≠ 0, jolloin löytyy A^{-1} täsmälleen AA^{-1} = A^{-1}A = I_n. Epäinverssi (Moore–Penrose) A^+ voidaan käyttää ei-neliöillä tai tilanteissa, joissa det(A) = 0.

Ominaisuudet: rank(A) on suurin määrä rivejä tai sarakkeita, jotka ovat lineaarisesti riippumattomia. Erikoismatriisit ovat diagonaalimatriisi, ylä- tai alatriallinen (triangularinen) matriisi sekä symmetrinen (A^T = A) ja ortogonaalinen (A^T A = I).

Käytännön sovellukset: matriiseja käytetään lineaaristen järjestelmien ratkaisemiseen, grafiikkaan, tilastotieteeseen ja koneoppimiseen sekä moniin datan analyysi- ja mallintamistarkoituksiin. Yleistyksiä ovat erilaiset dekomposiitiot, kuten LU-, QR- ja SVD-dekomposiitiot.