muotiteoriassa

Muototeoria on topologian ala, joka tutkii tilojen muotoa laajasti ottaen huomioon tilat, joiden perinteinen homotopialuokitus ei välttämättä riitä. Sen päätavoitteena on kuvata tilan rakennetta ja kehityskulkua siten, että muoto ei muutu pienillä tai epätarkoituksenmukaisilla muutoksilla. Muototeoria syntyi 1960-luvulla Karol Borsukin johtamana vastauksena tilojen monimutkaisiin piirteisiin ja pyrkii määrittelemään muodon niiden lähestymistapojen kautta polyedreihin tai muihin hyvin käyttäytyviin tiloihin tehtävien approksimaatioiden avulla.

Keskeiset käsitteet muodostuvat inversijärjestelmistä ja pro-objekteista: tilasta rakennetaan järjestelmä, joka koostuu pienemmistä, hallittavista osista ja näiden välisistä kartoista. Shape-ekvivalenssi määrittelee, ovatko kaksi tilaa samankaltaisia muodon suhteen, vaikka niiden tarkka geometria poikkeaisikin. Invariansseina käytetään usein shape-homotopialle ja pro-invariansseille ominaisten rakenteiden lisäksi Čech-kohomologiaa. Muototeoria on tiiviisti sidoksissa polyedriläheisyyksiin ja mahdollisesti ANR-tiloihin (Absolute Neighborhood Retracts).

Sovellukset ja vaikutukset ulottuvat fractaaleihin, epäjatkuviin tiloihin sekä ei-ANR-tilojen tutkimukseen, ja se on hyödyllinen geometrian sekä dynamiikan alueilta, joissa perinteinen topologia ei erota tiloja riittävästi. Tämän vuoksi muototeoria tarjoaa työkalupakin tilojen “laajempien muotojen” vertailuun ja luokitteluun.

Haasteet: ala on teknisesti vaativa ja invarianssien laskenta voi olla monimutkaista käytännössä. Lähteet ja varhainen kehitys perustuvat Borsukin työn lisäksi myöhempiin shape-theoryn tutkimuksiin.