multivarié

La statistique multivariée, ou analyse multivariée, désigne l’ensemble des méthodes qui étudient simultanément plusieurs variables mesurées sur les mêmes unités d’observation. Contrairement à l’analyse univariée, qui ne considère qu’une seule variable à la fois, l’analyse multivariée cherche à décrire les interdépendances, les structures de corrélation et les combinaisons de variables qui expliquent la variabilité observée.

Cadre conceptuel. On considère un vecteur aléatoire X = (X1, ..., Xp) appartenant à R^p. Sa distribution est caractérisée par un vecteur moyen μ et une matrice de covariance Σ. Lorsque X suit une loi normale multivariée, des propriétés géométriques et des contours elliptiques se dégagent; les dépendances entre variables sont précisées par Σ. Deux variables peuvent être non corrélées sans être indépendantes dans des cas généraux; dans la normale multivariée, la corrélation zéro implique l’indépendance.

Principales méthodes. Parmi les techniques les plus répandues figurent l’analyse en composantes principales (ACP) pour la réduction de dimension tout en conservant l’essentiel de la variance; l’analyse factorielle; la régression multivariée (plusieurs variables dépendantes ou indépendantes); l’analyse discriminante et l’analyse multivariée de la variance (MANOVA) pour tester des effets sur un ensemble de variables; la corrélation canonique pour mesurer des associations entre deux ensembles de variables; les modèles multivariés temporels (VAR) pour les séries chronologiques; et des approches non paramétriques ou robustes lorsque les hypothèses classiques ne sont pas vérifiables.

Applications. Les analyses multivariées trouvent des usages en finance (portefeuilles, risque), en psychologie et éducation (mesures latentes), en biologie et génomique, en marketing et en ingénierie, offrant à la fois description, réduction de dimension et modélisation prédictive.