maximização

Maximização é o processo de encontrar o maior valor possível de uma função objetivo dentro de um domínio definido ou sob restrições. Em matemática, envolve identificar os pontos onde f(x) atinge seu máximo sobre o conjunto admissível.

Em problemas sem restrições, o máximo pode ser encontrado por cálculo: se f é diferenciável, os pontos onde o gradiente é zero são candidatos; em uma dimensão, f''(x*)<0 indica máximo local. Em várias dimensões, grad f(x*)=0 e a Hessiana é negativa (definida) para um máximo local; a globalidade depende da concavidade da função e do domínio.

Problemas com restrições utilizam métodos específicos. Multiplicadores de Lagrange permitem maximizar f(x) sujeito a g_i(x)=0. Para desigualdades, utiliza-se as condições de Karush-Kuhn-Tucker. Em otimização linear, problemas de maximização do tipo max c^T x sujeito a Ax ≤ b resolvem-se com o método simplex ou algoritmos de interior point.

Existem funções que não possuem máximo finito; se o domínio é não limitado, o máximo pode não existir (ou ser infinito). Por exemplo, f(x) = -x^2 tem máximo em x=0; f(x) = e^x não tem máximo finito.

Aplicações aparecem em economia (lucro, utilidade), estatística (máxima verossimilhança), engenharia e ciência da computação. Em machine learning, muitos problemas são formulados como minimização de perdas, mas a ideia de maximizar uma função objetivo também é central, especialmente na estimativa de probabilidades ou de recompensas.