matrixsystemen

Matrixsystemen är en central del inom linjär algebra och avser representationen av linjära ekvationssystem med hjälp av matriser. Ett system med n obekanta kan skrivas som Ax = b, där A är koefficientmatrisen (m×n), x är kolonnvektorn av obekanta och b är kolonnvektorn med konstanter. Att lösa systemet innebär att hitta x som uppfyller ekvationerna.

Lösningar erhålls vanligtvis genom Gauss-elimination eller radoperationer på den utökade matrisen [A|b], tills man når radkanonformen eller reducerad radkanonform. Rangen av A och av den utökade matrisen avgör antalet lösningar: om rank(A) = rank([A|b]), finns en lösning; annars är systemet inkonsekvent. Om rank(A) = rank([A|b]) = n (antal obekanta) finns en unik lösning; om rank(A) < n finns oändligt många lösningar.

Vid kvadratiska och inverterbara A kan x = A^{-1} b. I praktiken används ofta LU- eller QR-faktoriseringar, och Cholesky vid symmetrisk positiv definit. För över- eller underbeställda system används minsta kvadraters lösning och pseudoinversen A^+.

Användningsområden omfattar datorgrafik, mekanik och fysik, signalbehandling, statistik och ekonomi. Matrixsystemen används bland annat för discretisering av differentialekvationer, nätverksanalys och optimeringsproblem som kräver lösningar av linjära system. Historiskt utvecklades eliminationen av Gauss på 1800-talet; idag är beräkningsteknik och programvaror centrala verktyg i många discipliner.