lösningsrymden

Lösningsrymden, eller lösningsmängden, är mängden av alla objekt som uppfyller ett givet problem. Inom matematiken används termen ofta om ett system av ekvationer eller differentialekvationer. I linjär algebra avser lösningsrymden vanligtvis lösningarna till ett system av linjära ekvationer.

För ett system Ax = b, där A är en given matris och b en konstantvektor, består lösningen av alla x som uppfyller ekvationerna. Om b = 0 kallas lösningsrymden ofta kärnan eller nollrummet till A, och den är ett underrum till R^n (eller till det relevanta rummet). Den kan beskrivas med en bas och har en dimension, kallad nullitet.

När b ≠ 0 kan lösningen vara tom eller av formen x_p + N(A), där x_p är en specifik lösning och N(A) är kärnan. Mängden av lösningar är då en affine delmängd av R^n med dimension lika med dim N(A) = n − rank(A) när systemet är konsistent.

Lösningsrymden används också för differentialekvationer. För linjära homogene differentialekvationer bildar lösningar ett vektorutrymme vars bas kallas fundamentala lösningar; den allmänna lösningen är en linjärkombination av dessa. Initialvillkor väljs för att bestämma en särskild lösning.

I icke-linjära eller polynomiska system bildar lösningsmängden ofta en algebraisk mängd eller varietet, som kan bestå av flera komponenter och ha varierande dimensioner. I tillämpningar som optimering, signalbehandling och fysik är kunskap om lösningsrymden central.