luniformità

L'uniformité est un terme polysémique qui peut désigner, selon le contexte, la qualité d'être uniforme ou, en mathématiques, une structure de proximité sans référence explicite à une métrique. En topologie, l'uniformité (ou structure d'uniformité) est une donnée sur un ensemble X constituée d'une famille d'entourages de X×X qui décrivent quand deux points x et y sont considérés comme proches.

Une uniformité U est une famille d'entourages qui satisfait des conditions: elle est filtrante et contient la diagonale Δ = { (x,x) : x ∈ X }, elle est stable sous inversion (si U ∈ U alors U^{-1} ∈ U) et, pour tout U ∈ U, il existe V ∈ U tel que V∘V ⊆ U. Ces axiomes permettent de définir la continuité uniforme, les notions de convergence uniforme et les suites ou filtres de Cauchy. La topologie engendrée par une uniformité est la topologie sous-jacente de proximité, et chaque métrique induce une uniformité; réciproquement, certaines uniformités proviennent de métriques, mais toutes ne le sont pas.

Dans l’analyse et la géométrie, l’uniformité permet d’étudier des propriétés qui dépendent de la proximité de manière uniforme sur tout l’espace, sans fixer de moyen métrique particulier. Elle fournit aussi les notions de convergence uniforme et de continuité uniforme, qui sont plus fortes que les notions topologiques correspondantes.

En usage courant, on parle aussi d’uniformité pour décrire la régularité de propriétés spatiales (uniformité de l’éclairage, de la texture) ou, en probabilités, de la distribution uniforme sur un intervalle ou un ensemble.