logiikkamalli

Logiikkamalli, tai logiikkamalli (logiikkamalli), on keskeinen käsite logiikassa ja malliteoriassa. Se antaa formaalille kielelle semanttisen merkityksen ja määrittelee, miten lauseet ja lausekkeet voidaan todistaa todeksi tai epätodeksi.

Malli M koostuu kahdesta osasta: domaanista joukosta D sekä tulkinnasta, joka määrittelee kunkin vakion, n-argumenttisen funktiogeneraattorin ja n-argumenttisen predikaation merkityksen. Esimerkiksi vakio symbolit c^M viittaa tiettyyn elementtiin D, funktio f^M vastaa toteutettavaa funktiota D^n -> D ja relation R^M määrittelee R-relations J^n joukkojen, jotka kuuluvat M:ään.

Semantiikassa lauseille määritellään totuus M ⊨ φ. Tämä totuus periytyy rakenteellisesti lauseen rakenteen mukaan muuttujien arvotyhmille. Ilman muuttujia muodostuvat lauseet ovat sanottuja totia M:ssä. Teoriat T koostuvat lauseista; M on malli teorialle T, jos M ⊨ φ jokaiselle φ ∈ T. Mallien olemassaoloa kutsutaan mallisäästäväksi (satisfied), ja lause on yleisesti pätevä, jos se on tosi kaikissa malleissa.

Esimerkki: kielellä, jolla on yksittäinen predikaatti P ja vakio c, määritellään M: D = {a, b}, P^M = {a}, c^M = a. Tällöin P(c) on tosi M:ssä.

Malliteorian tutkimus kohdistuu muun muassa mallien olemassaoloon, epätäydellisyyksiin, yhteensopivuuteen ja todennettavien lauseiden semanttisiin piirteisiin. Sitä sovelletaan matematiikassa, tietojenkäsittelytieteessä, ohjelmistovarmennuksessa sekä semanttisten kielien ja tietämyksen esittämienaloihin.