logaritmering

Logaritmering är operationen där varje positivt tal x och en bas b > 0, b ≠ 1 kopplas till ett tal y så att b^y = x. Logaritmen log_b x uppvisar alltså den exponent som krävs för att upphöja basen till y för att få x. Vanliga baser är bas 10 (decimal logaritm), basen e (naturlig logaritm) och basen 2 (binär logaritm).

De grundläggande egenskaperna är att log_b(xy) = log_b x + log_b y, log_b(x^k) = k log_b x, log_b(x/y) = log_b x − log_b y, log_b 1 = 0 och log_b b = 1. Dessa regler gör det möjligt att hantera multiplikation och division genom addition och subtraktion av logaritmer. Exempel: log_10 1000 = 3 och log_2 8 = 3.

Logaritmer är inversa funktioner till exponentiering: b^{log_b x} = x och log_b(b^x) = x. I reella sammanhang krävs x > 0 och basen b > 0 med b ≠ 1. För komplexa tal kan logaritmer utvidgas men detta kräver flera grenar och är mer avancerat.

Historiskt introducerades logaritmer av John Napier på 1600-talet och populariserades av Henry Briggs med logaritmtabeller i bas 10. Före datorerna användes logaritmer i slide rule och tabeller för att förenkla beräkningar. I modern teknik används logaritmer i vetenskaplig data som multiplicativa relationer, skalenivåer som decibeldimensioner, pH-värden och olika tillväxtmodeller, samt inom algoritmer och maskininlärning via naturliga eller bas-10 logaritmer i optimering och sannolikhet.