lineárizálás

Lineárizálás a nemlineáris rendszerek közelítését jelenti olyan, lineáris modellre, amely egy adott működési pont körül érvényes. Célja, hogy bonyolult dinamikát könnyebben elemezhető és tervezhető formába hozza, különösen a kontrollelmélet és a rendszerek vizsgálata számára.

Formálisan egy állapotmentes rendszer esetén x' = f(x, u) írható le. A működési pontot p0 = (x0, u0) választva a Taylor-fejlesztés elsőrendű része adja a lineárizált modellt: δx' = A δx + B δu, ahol A = ∂f/∂x (x0, u0) és B = ∂f/∂u (x0, u0). A lineárizált modell tehát a kis változások dinamikáját írja le a központi ponthoz viszonyított eltérésekben. Diszkrét idő esetén x_{k+1} ≈ x0 + A (x_k − x0) + B (u_k − u0) is használható.

A lineáris modell felhasználható a gyakorlatban: a lineáris vezérléstan elvei, például LQR tervezése és Kalman-szűrő alkalmazása a lineárizált modell alapján történik. Emellett a stabilitás vizsgálatakor a Hartman-Grobman-tétel szerint lokálisan a gerjesztés környéki viselkedés a lineárizált modellhez hasonló, ha a nemlineáris rendszer hyperbolikus rögzített pont környezetében van.

Korlátok: a lineárizálás csak lokális érvényességű, a kiinduló ponttól távolodva egyre pontatlanabb lehet, és nem feltétlenül ad jó közelítést nagyméretű elmozdulásokhoz vagy erősen nemlineáris viselkedéshez. Gyakori példa a kis Ferdin-tengelyű inga, amelynél θ'' = -(g/L) sin θ környezetben lineárizálható θ'' ≈ -(g/L) θ.

Alkalmazási területek közé tartozik a gépészeti és robotikai rendszerek modellezése, folyamat- és energiagazdálkodás, valamint általános szabályozási tervezés. Összességében a lineárizálás a nemlineáris rendszerek elemzésének alapvető eszköze, de mindig figyelembe vett tartományt és korlátokat.