linéarité

La linéarité est une propriété qui décrit comment une relation entre des entrées et des sorties se comporte lorsqu’on combine les entrées. En mathématiques, une fonction f entre espaces vectoriels est linéaire si, pour tous vecteurs x et y et tous scalaires a et b, on a f(a x + b y) = a f(x) + b f(y). Cette définition implique l’additivité et l’homogénéité. On parle ainsi d’applications linéaires ou de transformations linéaires lorsque le domaine et le codomaine sont des espaces vectoriels.

Des exemples simples illustrent cette notion. La fonction f(x) = c x sur un espace réel est linéaire, de même que T(v) = A v pour une matrice A. Les équations linéaires, par exemple a1 x1 + … + an xn = b, et les systèmes linéaires, sont des cas importants dans l’algèbre et l’analyse numérique. En revanche, des fonctions comme f(x) = x^2 ou f(x) = sin x ne sont pas linéaires en général.

La linéarité est également centrale dans les domaines pratiques. En physique et en ingénierie, le principe de superposition s’applique aux systèmes linéaires: la réponse à une somme d’entrées est la somme des réponses individuelles. En statistiques et en sciences des données, la régression linéaire modélise des relations par des fonctions linéaires, et la linéarisation autour d’un point peut faciliter l’analyse de systèmes non linéaires proches d’un operating point.

Limites: la plupart des systèmes réels ne sont pas strictement linéaires sur l’ensemble de leur domaine; la non-linéarité peut engendrer des comportements complexes, comme des saturations ou des phénomènes chaotiques.