käänteismatriiseihin

Käänteismatriisi, usein merkitty A⁻¹, on neliömatriisi, joka "kumoaa" alkuperäisen matriisin A kertolaskussa. Toisin sanoen, jos A on neliömatriisi ja B on sen käänteismatriisi, niin matriisikertolasku A * B ja B * A tuottavat identiteettimatriisin I. Identiteettimatriisi on diagonaalimatriisi, jonka diagonaalilla on ykkösiä ja muualla nollia. Käänteismatriisi on olemassa vain, jos alkuperäinen matriisi on neliömatriisi ja sen determinantti ei ole nolla. Tällaisia matriiseja kutsutaan kääntyviksi tai epäsingulaarisiksi matriiseiksi. Jos matriisin determinantti on nolla, sitä kutsutaan singulaariseksi matriisiksi, eikä sillä ole käänteismatriisia.

Käänteismatriiseja käytetään laajasti lineaarisessa algebrassa ja sen sovelluksissa. Yksi keskeisimmistä käyttökohteista on lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen. Jos yhtälöryhmä voidaan esittää matriisimuodossa Ax = b, missä A on kerroinmatriisi, x on tuntemattomien vektori ja b on vakiotermi, niin ratkaisu x saadaan kertomalla molemmat puolet A:n käänteismatriisilla: x = A⁻¹b. Tämä on erityisen hyödyllistä, kun sama kerroinmatriisi A esiintyy useissa eri yhtälöryhmissä, jolloin käänteismatriisi tarvitsee laskea vain kerran. Käänteismatriisien laskemiseen on olemassa useita menetelmiä, kuten Gaussin–Jordanin eliminaatio tai adjungaatin ja determinantin avulla laskeminen.