kvotmängd

Kvotmängd är ett begrepp inom matematik som avser mängden av ekvivalensklasser som bildas när en ekvivalensrelation delas upp på en given mängd. Om X är en mängd och ~ är en ekvivalensrelation på X, bildas kvotmängden X/~ av elementen [x] = {y i X | y ~ x}. Den naturliga kartan q: X → X/~ sänder varje element x till dess klass [x]. Eftersom ~ är en ekvivalensrelation är X/~ en partition av X och varje element i X/~ representerar en hel klass.

Om X har ytterligare struktur, följer ofta att kvotmängden får en motsvarande struktur. Till exempel, om G är en grupp och N är en normal undergrupp, blir kvotgruppen G/N mängden av vänstercosets med operationen (aN)(bN) = (ab)N. Liknande konstruktioner gäller för ringar (R/I) och andra algebraiska strukturer. I dessa fall används ofta termen kvotmängd eller kvotrum beroende på sammanhang; kvotrum används särskilt inom lineär algebra för kvotutrymmen.

Topologiskt kan kvotmängden utrustas med en kvottopologi: en mängd U i X/~ är öppen om q^{-1}(U) är öppen i X. Denna konstruktion gör kvotkartan q: X → X/~ till en kontinuerlig och universell avbildning i kategorin av topologiska rum.

Vanliga exempel är R/Z, som bildar en cirkel, och Z/nZ, som är en fin intressant kvotgrupp. Användningsområden inkluderar klassificering av objekt upp till likhet, förenkling av problem genom att identifiera likvärdiga element samt uppbyggnad av nya strukturer genom att moddera ut en del av informationen.