kvasilineaarisista

Kvasilineaariset yhtälöt ovat matematiikassa sellaisia differentiaaliyhtälöitä tai järjestelmiä, joissa korkein kertaluvun derivaatta esiintyy lineaarisesti. Tämä tarkoittaa, että korkeimman asteen termi on lineaarinen, kun taas muut osat voivat olla ei-lineaarisia riippuen esimerkiksi ratkaisusta, sen arvoista tai alemmista derivaattoista. Kvasilineaarisuus asettaa yhtälön osittain lineaariseksi korkeamman asteen termien suhteen, jolloin tavanomaiset lineaarisuuden ja ei-lineaarisuuden erottelut tule sovellettua juuri tähän ominaisuuteen.

Yleinen muoto ensimmäisen kertaluvun osittaisten derivoituvien kvasilineaarisille yhtälöille on esimerkiksi a(x,u) u_x + b(x,u) u_y = c(x,u), jossa korkein derivaatta u_x tai u_y esiintyy lineaarisesti. Kertoimet voivat riippua x:stä, y:stä ja ratkaistavasta funktiosta u sekä mahdollisesti alemmista derivaattoista, mutta ne eivät muutu korkeamman derivaatan epälineaarisiksi termeiksi. Monimutkaisemmissa tapauksissa useampi ensimmäisen kertaluvun derivaatta voi esiintyä lineaarisesti yhdessä.

Esimerkkejä kvasilineaarisista yhtälöistä ovat muun muassa u_x + y u_y = 0 ja u_t + f(u)_x = 0, joissa korkein derivaatta on lineaarinen, mutta kertoimet voivat riippua suuresti ratkaisusta tai sen arvoista. Tämä eroaa täysin lineaarisista yhtälöistä, joissa kaikki termit ovat lineaarisia sekä riippuvaisia vain riippumattomista muuttujista ja ratkaisuista ilman ei-lineaarisia derivaattoja. Toisaalta täysin nonlinear yhtälöt sisältävät korkeamman derivaatan mukana ei-lineaarisessa muodossa, kuten (u_x)^2.

Ratkaisuissa kvasilineaariset ensimmäisen kertaluvun PDE:t voidaan usein ratkaista karakteristikkamenetelmällä. Tämä menetelmä johtaa ominaiskäyriä pitkin kulkeviin ratkaisuun liittyviin polkuihin, ja usein ongelma luo tai rajoittaa alkuarvoja sekä mahdollisesti ennustaa shokkien tai voidaan ilmaista numeerisesti. Olennaisena sovelluskenttänä ovat virtausdynaikka, kaasujen dynamiikka ja liikennevirtojen mallinnus, sekä monet conservation-law-mallit.