koordinaattimuotoja

Koordinaattimuotoja tarkoittaa tapoja esittää pisteen sijainti tilassa koordinaattien avulla valitun koordinaatiston mukaan. Yleisiä ovat kaks- ja kolmiulotteiset tilat, joissa piste määritellään koordinaattien avulla, kuten x-, y- ja z-koordinaatit.

Kaksidimensionaalisessa tilassa tavallisimmat koordinaattimuodot ovat kartesiankoordinaatit (x, y) sekä polaariset koordinaatit (r, θ). Kartesiankoordinaatissa piste määritellään suorakulmaisilla mittasuhteilla, kun taas polaarikoordinaatisto mittaa etäisyyden r origosta ja kulman θ x-akseliin nähden. Muunnokset: x = r cos θ, y = r sin θ; r = sqrt(x^2 + y^2); θ = atan2(y, x).

Kolmiulotteisessa tilassa käytetään kartesiankoordinaatteja (x, y, z), sylinterikoordinaatteja (r, φ, z) sekä pallokoordinaatteja (ρ, θ, φ). Sylinterikoordinaatit ovat tavallinen yhdistelmä etäisyydestä r origosta ja kulmasta φ x-y-tasossa sekä z-komponentista; pallokoordinaatit kuvaavat pistettä etäisyyden ρ sekä two kulman, θ ja φ, avulla. Muunnokset: kartesiankoordinaatit alkaen sylinterikoordinaatteihin ja päinvastoin sekä pallokoordinaatteihin: x = r cos φ, y = r sin φ, z = z; r = sqrt(x^2 + y^2); φ = atan2(y, x). Pallokoordinaateissa: x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ; ρ = sqrt(x^2 + y^2 + z^2); θ = atan2(y, x); φ = arccos(z/ρ). Huomioitavaa on, että konventiot pallokoordinaateissa voivat vaihdella: eri lähteet käyttävät hieman erilaista määritelmää φ:n ja θ:n suhteen.

Koordinaattimuotojen valinta riippuu ongelman symmetriasta ja helpottaa laskentaa sekä integrointia. Niiden tunteminen auttaa ymmärtämään tilan geometriaa ja analyysia.