konvolusjonere

Konvolusjon er en matematisk operasjon som kombinerer to funksjoner og danner en tredje funksjon. Begrepet brukes i matematikk, signalbehandling og sannsynlighet. Når man snakker om å konvolutionere, refererer man til å utføre denne operasjonen på to funksjoner f og g og få h = f*g.

For kontinuerlig tid er konvolusjonen definert som (f*g)(t) = ∫_{-∞}^{∞} f(τ) g(t−τ) dτ. Den har en tolkning som overlapp mellom f og en speilet versjon av g når den flyttes langs t. Hvis en funksjon representerer et inngangssignal og den andre et impulse-respons, gir konvolusjonen systemets utgang y(t) for et lineært tidsinvariant system: y = f*h.

For diskret tid er definisjonen (f*g)[n] = ∑_{k=-∞}^{∞} f[k] g[n−k], der summen ofte begrenses av lengden på f og g.

Egenskaper: konvolusjonen er kommutativ, assosiativ og distributiv over addisjon. Den er lineær og oppfører seg som en tidsinvariant operasjon. Delta-funksjonen fungerer som identitet: f * δ = f.

Konvolusjonsteoremet linker konvolusjon til frekvensdomenet: Fourier-transformasjonen av en konvolusjon er produktet av transformasjonene. Dette muliggjør effektiv beregning via rask Fourier-transform (FFT), noe som reduserer beregningskostnaden for lange signaler.

Anvendelser inkluderer signal- og bildebehandling (for eksempel glatting og kantdeteksjon), sannsynlighet (fordelingen av summen av uavhengige variabler) og løsning av integrodifferensialligninger. Valg av kernel g bestemmer effekten på f, fra jevning til kantforbedring.