konvergensseurantaa

Konvergensseuranta tarkoittaa prosessia, jossa seurataan ja arvioidaan, saavuttavatko toistuvat laskutoimitukset, iteraatiot tai simulaatiot konvergenssin tilan ja suunnitellun tarkkuuden. Tavoitteena on varmistaa tulosten luotettavuus sekä estää turha laskenta. Se on keskeinen osa monia aloja, kuten numeerista analyysiä, optimointia ja tilastollisia simulointeja.

Käyttökohteita ovat erityisesti iteratiiviset ratkaisut ja iteroivat menetelmät, kuten Gauss-Seidel, conjugate gradient ja Newtonin menetelmä, joissa konvergenssin osoittaminen on välttämöntöntä. Myös stokastiset simuloinnit ja MCMC-diagnostiikka vaativat konvergenssin monitorointia (esim. trace-plotit ja R-hat -diagnostiikka). Konvergensseuranta auttaa määrittämään, milloin tulokset ovat riittävän tarkkoja ja voidaan pysähtyä ilman ylimääräistä laskentaa.

Yleisiä menetelmiä ovat residuaalin normin tai iteratiivisen muutoksen seuraaminen, kuten ||r_k|| tai ||x_k - x_{k-1}||, sekä ennalta määrättyjen tol-arvojen käyttäminen. Voidaan määritellä sekä a priori- että a posteriori rajat sekä maksimikierrosten määrä. Haasteita ovat oikean tol-arvon valitseminen, konvergenssin kiihtyminen tai pysähtyminen sekä numeerinen stabiilisuus ja epävarmuuden hallinta. Esimerkkinä lineaarisen järjestelmän ratkaisussa konvergenssi saavutetaan, kun residuaali on pienempi kuin tol.