konveksisuutta

Konveksisuus on matemaattinen käsite, joka kuvaa funktion tai joukon muotoa. Funktio on konveksi, jos kahden pisteen välisen janan yläpuolella oleva osa kuvaajasta on aina funktion kuvaajan yläpuolella tai samalla tasolla. Toisin sanoen, jos otetaan mitkä tahansa kaksi pistettä funktion kuvaajalta ja yhdistetään ne suoralla janalla, tämä jana pysyy kokonaan funktion kuvaajan yläpuolella tai koskettaa sitä.

Matemaattisesti konveksin funktion f määritelmä on se, että kaikille x1 ja x2 funktion määrittelyjoukossa ja kaikille t välillä [0, 1] pätee seuraava epäyhtälö: f(t*x1 + (1-t)*x2) <= t*f(x1) + (1-t)*f(x2). Toisen kertaluvun derivaatan avulla konveksisuutta voidaan tutkia: jos funktion toinen derivaatta on ei-negatiivinen koko määrittelyjoukossa, funktio on konveksi. Jos toinen derivaatta on positiivinen, funktio on aidosti konveksi.

Konveksit joukot ovat joukkoja, joissa kahden joukon pisteen välille piirretty jana pysyy kokonaan joukon sisällä. Konveksisuudella on laajoja sovelluksia matematiikassa, erityisesti optimoinnissa. Konveksien funktioiden minimointi on huomattavasti helpompaa kuin ei-konveksien funktioiden. Konveksisuutta käytetään myös muun muassa todennäköisyyslaskennassa, tilastotieteessä ja taloustieteessä. Epäkonveksit funktiot ovat monimutkaisempia ja voivat sisältää useita paikallisia ääriarvoja, mikä vaikeuttaa globaalin ääriarvon löytämistä.