kontinuitetsbegrep

Kontinuitetsbegreppet beskriver hur små förändringar i indata påverkar utdata hos en funktion. Det är centralt inom analys och topologi och används för att säkert kunna överföra gränsvärden genom funktioner samt för att studera geometriska och analytiska egenskaper hos objekt.

I termer av topologi definieras kontinuitet för en funktion f: X → Y mellan topologiska rum genom att f är kontinuerlig om för varje öppet sätt V i Y är preimage f^{-1}(V) öppet i X. I metriska rum kan detta utläsas lokalt: f är kontinuerlig vid en punkt x0 om för varje ε > 0 finns ett δ > 0 så att d_X(x, x0) < δ ⇒ d_Y(f(x), f(x0)) < ε. Om detta gäller för alla x0 i X sägs f vara kontinuerlig (globalt).

Ekvivalenta formuleringar inkluderar den sekventiella definitionen: om x_n → x i X så följer att f(x_n) → f(x) i Y. I fullständiga metriska rum är dessa definitioner likvärdiga. Kontinuitet bevarar flera viktiga egenskaper: kontinuerliga bilder av sammanhängande mängder är sammanhängande, och kontinuerliga bilder av kompakta mängder är kompakta (i allmänna topologiska rum).

Utöver den grundläggande kontinuiteten finns stärka versioner som uniform kontinuitet, där ε och δ inte får bero på punkten i X. Begreppet kontinuitet används överallt, från kalkyl till komplex analys, där kontinuerliga funktioner ofta analyseras och studeras utifrån sitt beteende vid gränser och under sammansättningar. Historiskt har kontinuitetsbegreppet utvecklats under 1800-talet genom arbeten av Bolzano, Cauchy, Heine och andra.