komplementationsgrupper

En komplementationsgrupp av en normal undergrupp N i en grupp G är en undergrupp H sådan att G = N H och N ∩ H = {e}. Med andra ord utgör H en komplement till N i G och G är då en semidirekt produkt av N och H; om N och H dessutom centraliserar varandra blir det en direkt produkt.

Existens och konjugering: I allmänhet finns det inte alltid en komplementationsgrupp till N i G. För ändliga grupper gäller Schur–Zassenhaus-satsen: om N är en normal Hall-subgrupp i G (ordningen av N är coprim med indexet |G:N|) så existerar en komplementationsgrupp H, och alla sådana H är konjugerade i G. Därigenom får man ofta att G kan uppfattas som en semidirekt produkt av N och H.

Exempel: I S3 är N = ⟨(1 2 3)⟩ en normal undergrupp av ordning 3, och varje undergrupp av ordning 2, till exempel ⟨(12)⟩, är en komplementationsgrupp; S3 ≅ C3 ⋊ C2. I en abelsk grupp där faktoriseringen har coprime ordningar, till exempel G ≅ C_m × C_n med gcd(m,n) = 1, finns naturliga komplementationsgrupper till varje faktor.

Användning: begreppet används för att beskriva när grupper kan beskrivas som semidirekta produkter, samt för studier av hur olika normalstrukturer bidrar till hela gruppen och för klassificering av grupper utifrån deras uppbyggnad med avseende på komplement av normala undergrupper.