kommutatorerna

Kommutatorerna av två element i en grupp är ett mått på hur mycket gruppen saknar kommutativitet. För två element a och b i en grupp G definieras kommutatorn [a,b] som a^{-1} b^{-1} a b. Om a och b kommuterar är [a,b] lika med identiteten e. Kommutatorerna används för att studera hur långt en grupp är från att vara abelsk.

Den grupp som genereras av alla kommutatorer kallas kommutatorgruppen eller derived subgroup och markeras ofta [G,G] eller G'. Den är normal i G. Kvoten G/G' är abelsk och beskriver hur långt G är från att vara abelsk.

Inom Lie-algebras definieras Lie-bracket [X,Y] som en bilinjär operation som är antisymmetrisk och uppfyller Jacobi-identiteten. I vissa sammanhang definieras det genom att [X,Y] = XY - YX i en associativ algebra. Dessa egenskaper ger strukturen hos algebror och används för att beskriva deras tredimensionella och högre ordningens commutativitetsegenskaper.

I kvantmekanik används kommutatorer av observabler definierade som [A,B] = AB - BA. Dessa är centrala eftersom de ger osäkerhetsrelationer. Ett klassiskt exempel är position och rörelsemängd där [x,p] = iħ.

Exempel och betydelse: I icke-abelska grupper uppträder ofta icke-noll kommutatorer; kommutatorgruppen [G,G] fångar hur långt G är från att vara abelsk. Kvoten G/G' kallas abelianisering. Kommutatorer används också för att klassificera och studera strukturer i olika algebraiska system, från grupper och Lie-algebror till operatorer i kvantmekanik.