Jacobiidentiteten

Jacobiidentiteten är en grundläggande sats inom teorin om Lie-algebras. Den beskriver hur tre element i en Lie-algebra sammanförs genom Lie-bracketet [·,·]. Formellt gäller för alla x, y och z i g: [x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0.

En vanlig motsvarighet uttrycks via adjointrepresentationen ad_x(y) = [x,y]. Då blir relationen ad_x([y,z]) = [ad_x(y), z] + [y, ad_x(z)]. Denna formulering innebär att varje ad_x är en derivation, och att ad: g → End(g) uppfyller en Lie-algebra-representation, dvs. [ad_x, ad_y] = ad_{[x,y]}.

Av praktiska skäl är Jacobiidentiteten en av de tre grundläggande axiomen för en Lie-algebra, tillsammans med bilinearitets- och antisymmetrighetsvillkoren. Den gör att satsen kan hanteras som en strukturell regel som bevarar Lie-bracketen under olika sammanställningar av operationer.

Exempel: I vilken associativ algebra A med commutator [a,b] = ab − ba uppfylls Jacobiidentiteten automatiskt. Jacobi-identiteten ligger också till grund för egenskaper hos innerderivationsalgebran och för konstruktioner inom differentialgeometri, där bracketing av vektorfält ger en Lie-algebra, samt inom fysik, där Poisson- och kommutatorbråk följer liknande regler.