kokonaisvarianssi

Kokonaisvarianssi on tilastollinen mitta, joka kuvaa monimuuttujaisen satunnaisvektorin kokonaisvaihtelua. Jos X = (X1, ..., Xp) on p‑ulotteinen satunnainen vektori, kokonaisvarianssi määritellään summana variansseista: kokonaisvarianssi = ∑_{i=1}^p Var(Xi) = tr(Cov(X)). Tämä tarkoittaa samaa arvoa kuin Cov(X) -matriisin diagonaalielementtien summa; se on myös Cov(X) -matriisin ominaisarvojen summana.

Kokonaisvarianssi on invarianssi ortogonaalisille muunnoksille: jos X' = AX ja A on ortogonaalinen, niin kokonaisvarianssi pysyy samana, eli tr(Cov(X')) = tr(Cov(X)). Tämä liittyy siihen, että kokonaisvarianssi vastaa varianssien kokonaismäärää, jonka PCA ja muut rakenteelliset menetelmät voivat kertoa.

Käytännössä kokonaisvarianssi liittyy PCAan siten, että Cov(X) matriisin ominaisarvot λ1, ..., λp summautuvat kokonaisvarianssiksi: ∑λi = tr(Cov(X)). Tämä kuvaa varianssin jakautumista kullekin suuntien pääkomponentille.

Otoksen estimointi on suora: jos X on centered data (n havainnoitsijaa, p muuttujaa) ja S = (1/(n−1)) X^T X on otosk covariance, kokonaisvarianssi on trace(S). Tämä antaa nopeasti arvion kokonaisvaihtelusta näytteestä.

Käyttö ja tulkinta: kokonaisvarianssi antaa yleiskuvan muuttujien kokonaisvaihtelusta, mutta se ei kerro yksittäisten muuttujien välisistä suhteista eikä vaihtelevien mittayksiköiden vuoksi vaadi standardointia. Siksi sama kokonaisvarianssi voi peittää erilaista covariance-rakennetta.

Katso myös: varianssi, kovarianssi, covariance-matriisi, PCA, ominaisarvot.