kokonaisvaihtelusta

Kokonaisvaihtelusta tarkoitetaan matematiikassa funktion vaihtelun kokonaismäärää. Se mittaa, kuinka paljon funktio muuttaa arvoaan alueen sisällä. Käytännössä kokonaisvaihtelu voidaan määritellä sekä yhdellä ulottuvuudella että useammilla ulottuvuuksilla, ja sitä käytetään laajasti analyysissä, optimoinnissa ja kuvan käsittelyssä.

Yhden muuttujan tapauksessa, olkoon u: [a,b] → R. Funktion Var_a^b(u) määritellään supitsemin summa-merkinnällä Var_a^b(u) = sup Σ |u(x_i) − u(x_{i−1})| yli kaikkiin ratkaisuun kuuluvien jaotteluihin a = x_0 < x_1 < … < x_n = b. Jos Var_a^b(u) on pienempi kuin ∞, u kuuluu alueelle, jonka variaation tilä kutsutaan rajoitetuksi (bounded variation). Jordanin hajotelmassa u = u^+ − u^−, missä u^+, u^− ovat kasvavia, ja Var_a^b(u) = (u^+)(b) − (u^+)(a) + (u^−)(b) − (u^−)(a).

Monialueisessa tapauksessa Ω ⊂ R^n, funktio u ∈ L^1(Ω) on määriteltyllä kokonaisvaihtelulla (BV-alueen jäsen), jos sen jakautuminen Du on määrällinen Radon‑mitta ja vario |Du|(Ω) on finite. Määritelmä usein annetaan muotoon Var(u, Ω) = sup ∫_Ω u div φ dx, missä φ ∈ C_c^1(Ω; R^n) ja ||φ||∞ ≤ 1. Total variation |Du|(Ω) on tämä supremaation tulos.

Ominaisuuksiin kuuluu, että BV-tilan funktiot ovat sulkeutuneet L^1-konvergenssissa ja BV(Ω) on Banach-tila, jonka normi on ∥u∥_{BV} = ∥u∥_{L^1} + |Du|(Ω). Coarea-formula ja erilaisten intergation kautta tulevat yhteydet tasokerrosten ja pinta-alojen kanssa ovat keskeisiä.

Sovelluksia ovat muun muassa kuvien denoising-TV-regulaari, vapauden vaihtelun hallinta optimointilogiikoissa sekä geometrian ja korkean ulottuvuuden analyysi. Tutkimusalueena kokonaisvaihtelu liittyy läheisesti BV-funktioihin, perimetrin käsiteeseen ja mitta- teoreettisiin menetelmiin.