kernelfunktion

Eine Kernelfunktion (Kernel) ist eine Funktion k: X × X → R, die die Ähnlichkeit zwischen zwei Objekten aus X misst. Typische Eigenschaften sind Symmetrie k(x, y) = k(y, x) und die Positive Semidefinite-Bedingung: Für jede endliche Menge {x1, ..., xn} gilt die Matrix K mit Kij = k(xi, xj) als PSD. Kernelfunktionen spielen eine zentrale Rolle in vielen Bereichen der Mathematik, Statistik und des maschinellen Lernens.

In der Statistik und im maschinellen Lernen ermöglichen Kernel Funktionen das Rechnen mit inneren Produkten in hochdimensionalen Merkmalsräumen, ohne das Merkmalsvektor-Raum explizit zu betreten (Kernel-Trick). Nach dem Mercer-Satz existiert unter bestimmten Voraussetzungen ein Mapping φ in einen Merkmalsraum, sodass k(x, y) = <φ(x), φ(y)> gilt. Dadurch lassen sich komplexe Modelle durch einfache kernelbasierte Ausdrücke implementieren.

Häufige Kernel-Beispiele sind der lineare Kernel k(x, y) = x^T y, der polynomialer Kernel (x^T y + c)^d, der Gaußsche Kernel k(x, y) = exp(-γ ||x − y||^2) und der Laplace-Kernel exp(-γ ||x − y||_1). Je nach Anwendung können weitere Kernel verwendet werden, etwa sigmoide Kernel oder spezialisierte kernel-Funktionen.

Anwendungen finden sich insbesondere in Support Vector Machines, Gaussian Processes, Regulären Regressionen und Clustering-Verfahren. Kernel ermöglichen flexible, nichtlineare Modelle, während Hyperparameter wie γ, c oder der Grad des Polynoms angepasst werden. Der Rechenaufwand skaliert mit der Anzahl der Trainingsbeispiele, wodurch oft Kernel-Approximationen oder reduzierende Merkmalsdarstellungen eingesetzt werden.

In der reinen Analysis kann der Begriff Kern auch den Kern eines Integraloperators bezeichnen, Kf(x) = ∫ k(x, y) f(y) dy.

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